Conjuntos en Estadística: Fundamentos y Aplicación en Python

Los conjuntos son uno de los conceptos más básicos y a la vez más importantes en estadística y probabilidad. Toda la teoría de la probabilidad —y, por extensión, gran parte del análisis estadístico— se construye sobre la teoría de conjuntos, que nos permite describir y razonar sobre eventos, muestras y resultados posibles.

¿Qué es un Conjunto?

Un conjunto es una colección bien definida de elementos, que pueden ser números, personas, objetos o resultados de un experimento.

En estadística, usamos conjuntos para describir:

• El espacio muestral (todos los resultados posibles de un experimento).
• Los eventos (subconjuntos del espacio muestral).
• Las relaciones entre distintos eventos.

Por ejemplo:

Si lanzamos un dado, el espacio muestral es

$$S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$$

Un evento puede ser “obtener un número par”:

$$A = {2, 4, 6}$$

Operaciones entre Conjuntos

Las operaciones entre conjuntos reflejan relaciones entre eventos en probabilidad.

Estas operaciones son la base del cálculo de probabilidades, porque cada evento se asocia con un conjunto de resultados, y las reglas de probabilidad siguen las mismas leyes que los conjuntos (como las Leyes de De Morgan).

Ejemplo Práctico en Python

Podemos representar los conjuntos y operaciones anteriores fácilmente con set:

# Espacio muestral del lanzamiento de un dado
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

# Eventos
A = {2, 4, 6}  # número par
B = {4, 5, 6}  # número mayor que 3

# Operaciones entre conjuntos
union = A | B
interseccion = A & B
complemento = S - A
diferencia = A - B

print("A ∪ B =", union)
print("A ∩ B =", interseccion)
print("A' =", complemento)
print("A - B =", diferencia)

# Espacio muestral del lanzamiento de un dado
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

# Eventos
A = {2, 4, 6}  # número par
B = {4, 5, 6}  # número mayor que 3

# Operaciones entre conjuntos
union = A | B
interseccion = A & B
complemento = S - A
diferencia = A - B

print("A ∪ B =", union)
print("A ∩ B =", interseccion)
print("A' =", complemento)
print("A - B =", diferencia)

Salida:

A ∪ B = {2, 4, 5, 6}
A ∩ B = {4, 6}
A' = {1, 3, 5}
A - B = {2}

A ∪ B = {2, 4, 5, 6}
A ∩ B = {4, 6}
A' = {1, 3, 5}
A - B = {2}

Conjuntos y Probabilidad

En la teoría de la probabilidad, los conjuntos se usan para definir y combinar eventos.
La probabilidad de un evento \( A \) se define como la proporción de casos favorables respecto al total de casos posibles:

$$P(A) = \frac{|A|}{|S|}$$

Ejemplo:

$$S = {1,2,3,4,5,6}, \quad A = {2,4,6}$$

$$P(A) = \frac{3}{6} = 0.5$$

En Python, podemos calcularlo así:

S = {1,2,3,4,5,6}
A = {2,4,6}

P_A = len(A) / len(S)
print(f"P(A) = {P_A}")

S = {1,2,3,4,5,6}
A = {2,4,6}

P_A = len(A) / len(S)
print(f"P(A) = {P_A}")

Salida:

P(A) = 0.5

P(A) = 0.5

Leyes de De Morgan en Probabilidad

Las Leyes de De Morgan conectan los conceptos de unión, intersección y complemento, tanto en conjuntos como en eventos probabilísticos:

$$(A \cup B)’ = A’ \cap B’$$

$$(A \cap B)’ = A’ \cup B’$$

Estas leyes permiten simplificar cálculos y entender mejor la relación entre eventos.

Verificación en Python: assert no devuelve ningún valor. Es una instrucción de verificación:

• Si la condición es verdadera, no hace nada.
• Si la condición es falsa, lanza un AssertionError.

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}

# Leyes de De Morgan:
# (A ∪ B)' = A' ∩ B'
# (A ∩ B)' = A' ∪ B'

assert U - (A | B) == (U - A) & (U - B)
assert U - (A & B) == (U - A) | (U - B)

print("Ambas leyes de De Morgan se verifican correctamente.")

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}

# Leyes de De Morgan:
# (A ∪ B)' = A' ∩ B'
# (A ∩ B)' = A' ∪ B'

assert U - (A | B) == (U - A) & (U - B)
assert U - (A & B) == (U - A) | (U - B)

print("Ambas leyes de De Morgan se verifican correctamente.")

Representación Visual: Diagramas de Venn

En estadística, los diagramas de Venn son una herramienta visual para representar eventos y sus intersecciones.

En Python podemos generarlos fácilmente:

from matplotlib import pyplot as plt
from matplotlib_venn import venn2

A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}

union = A | B
interseccion = A & B
diferencia = A - B

print("A ∪ B:", union)
print("A ∩ B:", interseccion)
print("A - B:", diferencia)

venn2([A, B], set_labels=('A', 'B'))
plt.title("Operaciones entre conjuntos")
plt.show()

from matplotlib import pyplot as plt
from matplotlib_venn import venn2

A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}

union = A | B
interseccion = A & B
diferencia = A - B

print("A ∪ B:", union)
print("A ∩ B:", interseccion)
print("A - B:", diferencia)

venn2([A, B], set_labels=('A', 'B'))
plt.title("Operaciones entre conjuntos")
plt.show()

Union - A ∪ B: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Interseccion - A ∩ B: {4, 5}
Diferencia -  A - B: {1, 2, 3}

Union - A ∪ B: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Interseccion - A ∩ B: {4, 5}
Diferencia -  A - B: {1, 2, 3}

Estos gráficos son muy útiles al enseñar reglas de probabilidad, interdependencia de eventos y espacios muestrales.

En Resumen