En estadística y ciencia de datos, el valor esperado representa el promedio teórico de los resultados posibles de una variable aleatoria. Es una medida fundamental para evaluar decisiones bajo incertidumbre: juegos de azar, inversiones o modelos probabilísticos.
Para entenderlo de manera intuitiva, imagina dos juegos simples.
- En el primero, lanzas un dado de seis caras y ganas la cantidad de dólares igual al número que salga.
- En el segundo, lanzas una moneda: ganas $6 si sale cara, o $0 si sale cruz.
¿Cuál conviene jugar si quieres maximizar tus ganancias?
2. Representando los juegos como variables aleatorias
Denotemos por:
- ( D ): el valor aleatorio del dado (posibles valores 1, 2, 3, 4, 5, 6).
- ( C ): el valor aleatorio del lanzamiento de moneda (posibles valores 0 y 6).
El valor esperado de una variable aleatoria discreta ( X ) se calcula como:
[
E(X) = \sum_{i} x_i , P(x_i)
]
Es decir: multiplicamos cada resultado posible ( x_i ) por su probabilidad ( P(x_i) ), y sumamos todos esos productos.
3. Ejemplo 1: Dado justo
Cada cara tiene probabilidad ( \frac{1}{6} ), y los valores posibles son 1 a 6.
[
E(D) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5
]
El valor esperado del dado es $3.50.
4. Ejemplo 2: Moneda justa
La moneda tiene dos resultados posibles:
- $6 con probabilidad ( \frac{1}{2} ),
- $0 con probabilidad ( \frac{1}{2} ).
[
E(C) = 0 \times \frac{1}{2} + 6 \times \frac{1}{2} = 3
]
El valor esperado de la moneda es $3.
✅ Conclusión: el juego del dado tiene un valor esperado ligeramente mayor ($3.5 vs $3). Si jugamos muchas veces, el dado nos da, en promedio, más ganancia.
5. Ejemplo 3: Dado sesgado
Supongamos ahora que el dado está cargado:
- Las probabilidades de sacar 1, 2, 3, 4 o 5 son 0.15 cada una.
- La probabilidad de sacar 6 es 0.25 (más alta).
Verificamos que las probabilidades sumen 1:
[
5 \times 0.15 + 0.25 = 1
]
Entonces:
[
E(D) = 1(0.15) + 2(0.15) + 3(0.15) + 4(0.15) + 5(0.15) + 6(0.25) = 3.75
]
El valor esperado del dado sesgado aumenta a $3.75, porque hay más probabilidad de obtener 6.
6. Interpretación vectorial
Otra forma elegante de calcular el valor esperado es mediante el producto punto entre:
- el vector de valores posibles,
- y el vector de probabilidades correspondientes.
[
E(X) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{p}
]
Por ejemplo, para el dado sesgado:
[
\mathbf{x} = [1, 2, 3, 4, 5, 6], \quad \mathbf{p} = [0.15, 0.15, 0.15, 0.15, 0.15, 0.25]
]
7. Implementación en Python
import numpy as np
# Juego del dado justo
valores_dado = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
prob_dado_justo = np.full(6, 1/6)
E_dado = np.dot(valores_dado, prob_dado_justo)
# Juego de la moneda
valores_moneda = np.array([0, 6])
prob_moneda = np.array([0.5, 0.5])
E_moneda = np.dot(valores_moneda, prob_moneda)
# Dado sesgado
prob_dado_sesgado = np.array([0.15, 0.15, 0.15, 0.15, 0.15, 0.25])
E_dado_sesgado = np.dot(valores_dado, prob_dado_sesgado)
print(f"Valor esperado dado justo: {E_dado}")
print(f"Valor esperado moneda: {E_moneda}")
print(f"Valor esperado dado sesgado: {E_dado_sesgado}")
📈 Salida esperada:
Valor esperado dado justo: 3.5
Valor esperado moneda: 3.0
Valor esperado dado sesgado: 3.75
8. Conclusión
El valor esperado es una herramienta esencial para cuantificar el promedio a largo plazo de un proceso aleatorio.
Aunque un solo resultado pueda variar, el valor esperado nos dice qué esperar “en promedio” si el experimento se repite muchas veces.
¿Quieres que a este artículo le agregue también una figura o gráfico en Python (por ejemplo, una comparación visual de las distribuciones del dado justo y el sesgado)?