Autor: Fernando

En ciencia de datos y estadística, las decisiones que tomamos dependen directamente de cómo analizamos la información. A menudo confiamos en medidas estadísticas como medias, proporciones o correlaciones para sacar conclusiones. Sin embargo, a veces las tendencias cambian drásticamente cuando separamos los datos en grupos o los combinamos.

A este fenómeno se le conoce como Paradoja de Simpson. En pocas palabras, ocurre cuando una tendencia observada en varios grupos individuales desaparece o incluso se invierte al combinar los datos de todos esos grupos.

Ejemplo clásico: recomendaciones de consolas de videojuegos

Imaginemos una encuesta sobre qué consola recomiendan más los usuarios, PS4 o Xbox One, separando las respuestas por género:

A primera vista, tanto hombres como mujeres prefieren Xbox One dentro de sus respectivos grupos. Pero al combinar los datos, PS4 parece ser la consola más recomendada.

Esto parece contradictorio —y lo es. La paradoja surge porque las proporciones se interpretan sin tener en cuenta el tamaño de cada grupo.

En este caso:

• Xbox One tiene muchas más respuestas de hombres (360) que de mujeres (40).
• PS4 tiene el patrón opuesto: muchas más respuestas femeninas (250) que masculinas (150).

Cuando agregamos los datos, los tamaños de muestra desiguales alteran la tendencia global. Este es el corazón de la Paradoja de Simpson: una conclusión opuesta al combinar los datos frente a cuando se analizan por separado.

Cómo reproducir la paradoja en Python

Podemos ilustrar el efecto con un pequeño ejemplo:

import pandas as pd

# Datos de ejemplo
data = pd.DataFrame({
    'consola': ['PS4']*400 + ['Xbox One']*400,
    'genero': ['Hombre']*150 + ['Mujer']*250 + ['Hombre']*360 + ['Mujer']*40,
    'recomienda': (
        [1]*50 + [0]*100 +    # PS4 hombres
        [1]*200 + [0]*50 +    # PS4 mujeres
        [1]*180 + [0]*180 +   # Xbox hombres
        [1]*36 + [0]*4        # Xbox mujeres
    )
})

# Tasas por grupo
print(data.groupby(['consola','genero'])['recomienda'].mean().unstack())

# Tasa global combinada
print('\nTasas globales:')
print(data.groupby('consola')['recomienda'].mean())

import pandas as pd

# Datos de ejemplo
data = pd.DataFrame({
    'consola': ['PS4']*400 + ['Xbox One']*400,
    'genero': ['Hombre']*150 + ['Mujer']*250 + ['Hombre']*360 + ['Mujer']*40,
    'recomienda': (
        [1]*50 + [0]*100 +    # PS4 hombres
        [1]*200 + [0]*50 +    # PS4 mujeres
        [1]*180 + [0]*180 +   # Xbox hombres
        [1]*36 + [0]*4        # Xbox mujeres
    )
})

# Tasas por grupo
print(data.groupby(['consola','genero'])['recomienda'].mean().unstack())

# Tasa global combinada
print('\nTasas globales:')
print(data.groupby('consola')['recomienda'].mean())

Salida:

genero      Hombre  Mujer
consola                    
PS4           0.33   0.80
Xbox One      0.50   0.90

Tasas globales:
consola
PS4         0.625
Xbox One    0.540

genero      Hombre  Mujer
consola                    
PS4           0.33   0.80
Xbox One      0.50   0.90

Tasas globales:
consola
PS4         0.625
Xbox One    0.540

La paradoja aparece claramente: las preferencias se invierten al combinar los grupos.

Un ejemplo del mundo real: tratamientos de salud mental

La paradoja de Simpson no es solo una curiosidad estadística. En el mundo real se ha observado en áreas críticas como la medicina, educación, o economía.

Considera un estudio sobre la efectividad de dos terapias para la depresión:

Aquí, la Terapia A funciona mejor tanto para casos leves como severos. Sin embargo, al combinar los datos, parece que la Terapia B es más efectiva.

¿Por qué?
Porque el número de pacientes tratados con cada terapia y tipo de depresión no es el mismo. En los casos leves (que tienen tasas altas de éxito), la mayoría recibió la Terapia A, mientras que los casos severos (con tasas más bajas) se concentraron más en la Terapia B.

La gravedad de la depresión es una variable de confusión, es decir, un factor no considerado que afecta el resultado global.

Lecciones de la Paradoja de Simpson

1. El contexto importa.
   Los datos sin contexto pueden llevar a conclusiones erróneas. Siempre debemos preguntarnos qué factores ocultos pueden estar influyendo en las relaciones observadas.
2. Analiza por subgrupos antes de agregar.
   Las tendencias globales pueden esconder comportamientos opuestos en segmentos individuales.
3. El tamaño de muestra importa.
   No todos los grupos tienen el mismo peso; las proporciones deben interpretarse considerando cuántos datos hay en cada grupo.
4. Correlación no implica causalidad.
   Que dos variables se muevan juntas no significa que una cause a la otra. La paradoja de Simpson es una excelente demostración de esto.

En Resumen

La Paradoja de Simpson nos recuerda que los datos nunca cuentan toda la historia por sí solos.

Antes de tomar decisiones basadas en estadísticas agregadas, debemos explorar los subgrupos y buscar posibles variables de confusión que puedan estar distorsionando la interpretación.

En análisis de datos, la clave no es solo calcular, sino entender. Porque a veces, los promedios engañan más de lo que explican.

En este articulo veremos cómo estudiar la asociación entre dos variables categóricas.

Ejemplo: Inventario de Personalidad Narcisista (NPI-40)

El Inventario de Personalidad Narcisista (NPI-40) es un cuestionario que evalúa rasgos narcisistas a través de 40 ítems con opciones A o B. Las respuestas se puntúan para determinar el nivel de narcisismo, que puede variar de bajo a muy alto. Se aclara que este inventario no es un diagnóstico clínico, sino una herramienta para medir características de personalidad.
Cada pregunta tiene dos posibles respuestas: “sí” o “no”.

Algunas de las preguntas incluidas en este ejemplo son:

• influence:
  • yes → “Tengo un talento natural para influir en las personas.”
  • no → “No soy bueno para influir en las personas.”
• blend_in:
  • yes → “Prefiero mezclarme con la multitud.”
  • no → “Me gusta ser el centro de atención.”
• special:
  • yes → “Creo que soy una persona especial.”
  • no → “No soy mejor ni peor que la mayoría.”
• leader:
  • yes → “Me veo como un buen líder.”
  • no → “No estoy seguro de ser un buen líder.”
• authority:
  • yes → “Me gusta tener autoridad sobre otras personas.”
  • no → “No me importa seguir órdenes.”

Como puedes imaginar, las respuestas a algunas de estas preguntas están asociadas entre sí.
Por ejemplo, alguien que se considera líder también podría tender a disfrutar de tener autoridad.

Tablas de Contingencia de Frecuencias

Una forma práctica de resumir la relación entre dos variables categóricas es mediante una tabla de contingencia (también conocida como tabla cruzada o de doble entrada).
Podemos construirla fácilmente en pandas con crosstab().

Supongamos que queremos analizar la relación entre influence (creerse bueno para influir en los demás) y leader (verse como líder):

import pandas as pd

influence_leader_freq = pd.crosstab(npi.influence, npi.leader)
print(influence_leader_freq)

import pandas as pd

influence_leader_freq = pd.crosstab(npi.influence, npi.leader)
print(influence_leader_freq)

Resultado:

leader     no     yes
influence
no        3015    1293
yes       2360    4429

leader     no     yes
influence
no        3015    1293
yes       2360    4429

Esta tabla muestra cuántas personas dieron cada combinación de respuestas.
Por ejemplo:

• 3015 personas respondieron “no” a ambas preguntas.
• 4429 personas respondieron “sí” tanto a influence como a leader.

Observación: si alguien se ve como líder, es más probable que también piense que tiene talento para influir en los demás. Esto ya sugiere una posible asociación entre ambas variables.

Tablas de Contingencia de Proporciones

Para comparar mejor, es útil expresar las frecuencias como proporciones del total.
Podemos hacerlo dividiendo entre el número total de observaciones:

influence_leader_prop = influence_leader_freq / len(npi)
print(np.round(influence_leader_prop, 3))

influence_leader_prop = influence_leader_freq / len(npi)
print(np.round(influence_leader_prop, 3))

Resultado:

leader       no     yes
influence
no          0.272   0.117
yes         0.213   0.399

leader       no     yes
influence
no          0.272   0.117
yes         0.213   0.399

Estas proporciones nos muestran que las categorías “sí/sí” (0.399) y “no/no” (0.272) son las más frecuentes. En otras palabras, casi el 40% de los participantes se ven como líderes y dicen tener talento para influir.

Proporciones Marginales

Ahora bien, incluso si no existiera relación entre las variables, las proporciones no se distribuirían equitativamente (no serían todas 0.25). Por ejemplo, puede que más de la mitad de las personas se consideren influyentes, lo cual afectará las proporciones. Las proporciones marginales resumen la fracción total de personas en cada categoría individual (por filas y columnas).

leader_marginals = influence_leader_prop.sum(axis=0)
influence_marginals = influence_leader_prop.sum(axis=1)

print("Marginal por líder:\n", leader_marginals)
print("\nMarginal por influencia:\n", influence_marginals)

leader_marginals = influence_leader_prop.sum(axis=0)
influence_marginals = influence_leader_prop.sum(axis=1)

print("Marginal por líder:\n", leader_marginals)
print("\nMarginal por influencia:\n", influence_marginals)

Resultado:

Marginal por líder:
no     0.484
yes    0.516

Marginal por influencia:
no     0.388
yes    0.612

Marginal por líder:
no     0.484
yes    0.516

Marginal por influencia:
no     0.388
yes    0.612

Esto nos dice que:

• El 51.6% de las personas se consideran líderes.
• El 61.2% piensa que tiene talento para influir.

Tablas de Contingencia Esperadas

Si las variables no estuvieran asociadas, podríamos predecir las proporciones esperadas multiplicando las proporciones marginales de cada categoría:

Si el total de observaciones es 11 097, podemos calcular las frecuencias esperadas:

Podemos obtener esta tabla automáticamente con SciPy:

from scipy.stats import chi2_contingency
import numpy as np

chi2, pval, dof, expected = chi2_contingency(influence_leader_freq)
print(np.round(expected))

from scipy.stats import chi2_contingency
import numpy as np

chi2, pval, dof, expected = chi2_contingency(influence_leader_freq)
print(np.round(expected))

Salida:

[[2087. 2221.]
 [3288. 3501.]]

[[2087. 2221.]
 [3288. 3501.]]

Estas son las frecuencias esperadas si no hubiera asociación entre las variables.

Comparación Observada vs Esperada

Tabla observada:

leader     no     yes
influence
no        3015    1293
yes       2360    4429

leader     no     yes
influence
no        3015    1293
yes       2360    4429

Tabla esperada (sin asociación):

leader     no     yes
influence
no        2087    2221
yes       3288    3501

leader     no     yes
influence
no        2087    2221
yes       3288    3501

Vemos diferencias notables: por ejemplo, hay 3015 observaciones reales en la celda (no/no), cuando esperaríamos 2087. Esto sugiere que las variables están efectivamente asociadas.

La Estadística Chi-Cuadrado (χ²)

Para cuantificar la diferencia entre ambas tablas, utilizamos la prueba Chi-Cuadrado de independencia. La fórmula general es:

$$\chi^2 = \sum \frac{(O – E)^2}{E}$$

donde

• \(O\) son los valores observados,
• \(\)E \(\) los valores esperados.

En Python, la obtenemos directamente:

chi2, pval, dof, expected = chi2_contingency(influence_leader_freq)
print(f"Chi-cuadrado: {chi2:.2f}")
print(f"p-value: {pval:.5f}")

chi2, pval, dof, expected = chi2_contingency(influence_leader_freq)
print(f"Chi-cuadrado: {chi2:.2f}")
print(f"p-value: {pval:.5f}")

Resultado:

Chi-cuadrado: 1307.88
p-value: 0.00000

Chi-cuadrado: 1307.88
p-value: 0.00000

Interpretación:

• En una tabla 2×2, un valor de χ² superior a 4 ya sugiere una relación significativa.
• Aquí, χ² = 1307.88, una diferencia enorme: evidencia muy fuerte de asociación.
• El p-value ≈ 0 confirma que las variables no son independientes.

En resumen:

• Las tablas de contingencia permiten observar la relación entre dos variables categóricas.
• Convertirlas a proporciones facilita la comparación.
• Las proporciones marginales ayudan a calcular lo que esperaríamos si no hubiera asociación.
• La prueba Chi-Cuadrado cuantifica cuánto difieren los datos observados de los esperados.
• Un valor de χ² alto (y p-value bajo) indica una asociación significativa.

Cómo evaluar la asociación entre una variable cuantitativa (por ejemplo, una puntuación o precio) y una variable categórica (por ejemplo, tipo de escuela, zona, o profesión).

Ejemplo: Datos de Estudiantes

Supongamos que tenemos un conjunto de datos de estudiantes de dos escuelas portuguesas. Contiene la siguiente información:

• school: escuela del alumno → Gabriel Pereira ('GP') o Mousinho da Silveira ('MS')
• address: zona de residencia → 'U' urbana o 'R' rural
• absences: número de ausencias durante el curso
• Mjob: profesión de la madre
• Fjob: profesión del padre
• G3: puntuación final del alumno en matemáticas (0 a 20)

Queremos responder:

¿Las puntuaciones de matemáticas (G3) están asociadas con la escuela a la que asisten los estudiantes?

Si es así, conocer la escuela podría ayudarnos a predecir el rendimiento académico.

Diferencias de Medias y Medianas

Una forma inicial de explorar esta relación es comparar las medias y medianas de las puntuaciones en cada grupo.

import numpy as np

# Dividir los puntajes según la escuela
scores_GP = students.G3[students.school == 'GP']
scores_MS = students.G3[students.school == 'MS']

# Calcular medias
mean_GP = np.mean(scores_GP)
mean_MS = np.mean(scores_MS)
mean_diff = mean_GP - mean_MS

print(f"Media GP: {mean_GP:.2f}")
print(f"Media MS: {mean_MS:.2f}")
print(f"Diferencia de medias: {mean_diff:.2f}")

import numpy as np

# Dividir los puntajes según la escuela
scores_GP = students.G3[students.school == 'GP']
scores_MS = students.G3[students.school == 'MS']

# Calcular medias
mean_GP = np.mean(scores_GP)
mean_MS = np.mean(scores_MS)
mean_diff = mean_GP - mean_MS

print(f"Media GP: {mean_GP:.2f}")
print(f"Media MS: {mean_MS:.2f}")
print(f"Diferencia de medias: {mean_diff:.2f}")

Resultado:

Media GP: 10.49  
Media MS: 9.85  
Diferencia de medias: 0.64

Media GP: 10.49  
Media MS: 9.85  
Diferencia de medias: 0.64

También podríamos usar la mediana en lugar de la media para reducir el efecto de valores extremos.

median_GP = np.median(scores_GP)
median_MS = np.median(scores_MS)

print(f"Median_GP: {median_GP:.2f}")
print(f"Median_MS: {median_MS:.2f}")
print(f"Diferencia de medianas: {median_GP - median_MS:.2f}")

median_GP = np.median(scores_GP)
median_MS = np.median(scores_MS)

print(f"Median_GP: {median_GP:.2f}")
print(f"Median_MS: {median_MS:.2f}")
print(f"Diferencia de medianas: {median_GP - median_MS:.2f}")

Median_GP: 12.00
Median_MS: 11.00
Diferencia de medianas: 1.00

Median_GP: 12.00
Median_MS: 11.00
Diferencia de medianas: 1.00

Estas diferencias nos dan una idea inicial, pero no nos dicen si la diferencia es relevante o significativa. Para eso, es útil visualizar la dispersión de los datos.

Diagramas de Caja Comparativos

Los diagramas de caja (boxplots) permiten visualizar simultáneamente la distribución, mediana y variabilidad de una variable cuantitativa entre grupos. Esto puede ayudarnos a determinar si las diferencias de medias o medianas son “grandes” o “pequeñas”. Echemos un vistazo a los diagramas de caja de los puntajes de matemáticas en cada escuela:

import seaborn as sns

sns.boxplot(data = students, x = 'address', y = 'G3')
plt.show()

import seaborn as sns

sns.boxplot(data = students, x = 'address', y = 'G3')
plt.show()

Estos gráficos nos permiten ver si una escuela o zona tiene valores consistentemente más altos, o si las distribuciones se superponen mucho.

Histogramas Superpuestos

Otra opción es comparar las distribuciones con histogramas superpuestos.
Aquí usamos alpha=0.5 para hacerlos semitransparentes, y density=True para que representen proporciones, no frecuencias absolutas (lo cual es importante si los grupos tienen tamaños distintos).

plt.hist(scores_urban , color="blue", label="Urban", density=True, alpha=0.5)
plt.hist(scores_rural , color="red", label="Rural", density=True, alpha=0.5)
plt.legend()
plt.show()

plt.hist(scores_urban , color="blue", label="Urban", density=True, alpha=0.5)
plt.hist(scores_rural , color="red", label="Rural", density=True, alpha=0.5)
plt.legend()
plt.show()

🔍 Interpretación visual:

• Si las curvas están muy superpuestas → la asociación es débil.
• Si una está claramente desplazada a la derecha → hay una diferencia consistente entre grupos.
• Las colas o picos distintos pueden revelar variabilidad o subgrupos (por ejemplo, alumnos destacados).

Variables Categóricas No Binarias

Hasta ahora, hemos trabajado con variables categóricas binarias (dos grupos). Pero ¿Qué ocurre si la categoría tiene más de dos valores?

Por ejemplo, la profesión de la madre (Mjob) puede tener cinco categorías:

• at_home
• health
• services
• teacher
• other

Podemos visualizar la relación con un boxplot múltiple:

sns.boxplot(data = students, x = 'Mjob', y = 'G3')
plt.show()

sns.boxplot(data = students, x = 'Mjob', y = 'G3')
plt.show()

Aquí evaluamos todas las comparaciones por pares. Si al menos un grupo tiene una distribución diferente (por ejemplo, “health” con valores más altos), podemos decir que existe asociación entre las variables.

En este articulo se explora la correlación entre diferentes factores y se estima hasta qué punto son confiables sus relaciones. Además, aborda sobre los diferentes tipos de análisis que podemos realizar para descubrir la relación entre los datos: análisis univariado, bivariado y multivariado.

Cualquier conjunto de datos que queramos analizar tendrá diferentes campos (columnas) con múltiples observaciones (filas). Estas variables suelen estar relacionadas entre sí, ya que se recopilan del mismo fenómeno. Un campo puede influir o no sobre otro; para entenderlo, necesitamos detectar las dependencias existentes entre variables.

La fuerza de la relación entre dos campos de un conjunto de datos se llama correlación, y se representa con un número entre -1 y 1.

En otras palabras, la correlación es una técnica estadística que mide y describe cómo se relacionan y varían juntas dos variables. Nos permite responder preguntas como:

• ¿Cómo cambia una variable con respecto a otra?
• Si cambia, ¿en qué grado o fuerza?
• ¿Podemos predecir una a partir de la otra?

Por ejemplo: la altura y el peso suelen estar relacionados. Las personas más altas tienden a pesar más que las más bajas. Si encontramos una persona más alta que el promedio, es razonable esperar que también pese más que el promedio.

Qué es el Coeficiente de Correlación

La correlación nos indica cómo cambian las variables juntas, ya sea en la misma dirección o en direcciones opuestas, y la fuerza de esa relación. El coeficiente de correlación de Pearson \(ρ\) o \(r\) mide esta relación y se calcula como:

$$r_{xy} = \frac{\text{cov}(x, y)}{\sigma_x , \sigma_y}$$

donde:

• \( \text{cov}(x, y)\) es la covarianza entre las variables,
• \( \sigma_x \) y \( \sigma_y \) son sus desviaciones estándar.

El valor de ( r ) varía entre -1 y +1:

Valores cercanos a |1| indican una relación fuerte, mientras que los cercanos a 0 indican una relación débil o inexistente.

Visualización: Diagramas de Dispersión

Los diagramas de dispersión son herramientas visuales clave para observar la correlación entre dos variables.

A continuación, veremos ejemplos con Python.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Generar datos simulados
x = np.linspace(1, 10, 10)
y_pos = 2.5 * x + np.random.normal(0, 1, 10)      # correlación positiva
y_neg = -2.5 * x + np.random.normal(0, 1, 10)     # correlación negativa
y_none = np.random.normal(5, 5, 10)               # sin correlación

# Crear figuras
fig, axs = plt.subplots(1, 3, figsize=(12, 4))

axs[0].scatter(x, y_pos, color='green')
axs[0].set_title('Correlación Positiva')

axs[1].scatter(x, y_neg, color='red')
axs[1].set_title('Correlación Negativa')

axs[2].scatter(x, y_none, color='gray')
axs[2].set_title('Sin Correlación')

for ax in axs:
    ax.set_xlabel('Variable X')
    ax.set_ylabel('Variable Y')
    ax.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Generar datos simulados
x = np.linspace(1, 10, 10)
y_pos = 2.5 * x + np.random.normal(0, 1, 10)      # correlación positiva
y_neg = -2.5 * x + np.random.normal(0, 1, 10)     # correlación negativa
y_none = np.random.normal(5, 5, 10)               # sin correlación

# Crear figuras
fig, axs = plt.subplots(1, 3, figsize=(12, 4))

axs[0].scatter(x, y_pos, color='green')
axs[0].set_title('Correlación Positiva')

axs[1].scatter(x, y_neg, color='red')
axs[1].set_title('Correlación Negativa')

axs[2].scatter(x, y_none, color='gray')
axs[2].set_title('Sin Correlación')

for ax in axs:
    ax.set_xlabel('Variable X')
    ax.set_ylabel('Variable Y')
    ax.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

Cuanto más se acerquen los puntos a una línea recta, mayor será la correlación.
Si los puntos están dispersos sin formar ningún patrón, la correlación es baja o inexistente.

Correlación No Implica Causalidad

Una frase muy importante en estadística es:

“La correlación no implica causalidad.”

Esto significa que dos cosas pueden estar relacionadas sin que una cause la otra.
Por ejemplo:

• En invierno la gente compra más sopa caliente. Pero el frío no causa que la gente gaste más dinero; ambos fenómenos están relacionados por un tercer factor (la estación del año).
• Las ventas de helado y los homicidios aumentan simultáneamente durante el verano.
  No significa que comer helado cause homicidios; ambos están correlacionados por la temperatura, que influye en ambos comportamientos.

Por tanto, una correlación fuerte no garantiza una relación de causa-efecto. Antes de sacar conclusiones, es crucial analizar los factores subyacentes.

Análisis Bivariado

El análisis bivariado estudia la relación entre dos variables. Se usa para determinar si existe una relación y qué tipo de relación hay (positiva, negativa o nula). Por ejemplo, analicemos la relación entre el dinero invertido en publicidad y las ventas obtenidas:

Usando Numpy y Scipy:

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

# Datos ficticios
publicidad = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
ventas = np.array([10, 13, 19, 23, 26, 33, 38, 41, 47])

# Calcular coeficiente de correlación con Numpy
correlacion = np.corrcoef(publicidad, ventas)[0, 1]
print(f"Coeficiente de correlación de Pearson: {correlacion:.3f}")

# Calcular coeficiente de correlación con Scipy
corr = stats.pearsonr(publicidad, ventas)
print("Correlación:", corr[0])

# Graficar
plt.scatter(publicidad, ventas, color='blue', label='Datos')
m, b = np.polyfit(publicidad, ventas, 1)
plt.plot(publicidad, m*publicidad + b, color='red', label='Línea de mejor ajuste')
plt.xlabel("Dólares en publicidad")
plt.ylabel("Ventas")
plt.title("Análisis Bivariado: Publicidad vs Ventas")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

# Datos ficticios
publicidad = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
ventas = np.array([10, 13, 19, 23, 26, 33, 38, 41, 47])

# Calcular coeficiente de correlación con Numpy
correlacion = np.corrcoef(publicidad, ventas)[0, 1]
print(f"Coeficiente de correlación de Pearson: {correlacion:.3f}")

# Calcular coeficiente de correlación con Scipy
corr = stats.pearsonr(publicidad, ventas)
print("Correlación:", corr[0])

# Graficar
plt.scatter(publicidad, ventas, color='blue', label='Datos')
m, b = np.polyfit(publicidad, ventas, 1)
plt.plot(publicidad, m*publicidad + b, color='red', label='Línea de mejor ajuste')
plt.xlabel("Dólares en publicidad")
plt.ylabel("Ventas")
plt.title("Análisis Bivariado: Publicidad vs Ventas")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Salida:

Coeficiente de correlación de Pearson: 0.997
Correlación: 0.9973743231694302

Coeficiente de correlación de Pearson: 0.997
Correlación: 0.9973743231694302

Interpretación:
Si el coeficiente de correlación \( r \) es cercano a 1, existe una relación positiva fuerte, lo que sugiere que al aumentar la inversión publicitaria, las ventas también aumentan.

Análisis Multivariado

El análisis multivariado examina tres o más variables al mismo tiempo, buscando relaciones más complejas. Se utiliza cuando queremos entender cómo varias variables interactúan entre sí para predecir un resultado.

Ejemplo: predecir el precio de una casa según tamaño, ubicación y número de habitaciones.

import pandas as pd
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
import numpy as np

data = pd.DataFrame({
    'tamaño_m2': [45, 55, 65, 75, 85, 95, 105, 115],
    'habitaciones': [1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4],
    'ubicacion': [5, 4, 3, 2, 4, 3, 2, 1],  # zonas más caras no siempre coinciden con mayor tamaño
    'precio': [160000, 170000, 185000, 190000, 210000, 220000, 240000, 230000]
})

# Variables independientes y dependiente
X = data[['tamaño_m2', 'habitaciones', 'ubicacion']]
y = data['precio']

# Crear y entrenar el modelo
modelo = LinearRegression()
modelo.fit(X, y)

# Mostrar resultados
print("Coeficientes:", modelo.coef_)
print("Intercepto:", modelo.intercept_)

# --- Gráfico de correlaciones ---
plt.figure(figsize=(8, 6))
sns.heatmap(data.corr(), annot=True, cmap='coolwarm', fmt=".2f", linewidths=0.5)
plt.title("Mapa de calor de correlaciones", fontsize=14)
plt.show()

import pandas as pd
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
import numpy as np

data = pd.DataFrame({
    'tamaño_m2': [45, 55, 65, 75, 85, 95, 105, 115],
    'habitaciones': [1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4],
    'ubicacion': [5, 4, 3, 2, 4, 3, 2, 1],  # zonas más caras no siempre coinciden con mayor tamaño
    'precio': [160000, 170000, 185000, 190000, 210000, 220000, 240000, 230000]
})

# Variables independientes y dependiente
X = data[['tamaño_m2', 'habitaciones', 'ubicacion']]
y = data['precio']

# Crear y entrenar el modelo
modelo = LinearRegression()
modelo.fit(X, y)

# Mostrar resultados
print("Coeficientes:", modelo.coef_)
print("Intercepto:", modelo.intercept_)

# --- Gráfico de correlaciones ---
plt.figure(figsize=(8, 6))
sns.heatmap(data.corr(), annot=True, cmap='coolwarm', fmt=".2f", linewidths=0.5)
plt.title("Mapa de calor de correlaciones", fontsize=14)
plt.show()

Coeficientes: [ 1800.  22000. -9000.]
Intercepto: 11000.0

Coeficientes: [ 1800.  22000. -9000.]
Intercepto: 11000.0

Interpretación:

• Coeficiente de tamaño_m2: 1800
  ➜ Por cada metro cuadrado adicional, el precio sube 1,800 €, manteniendo las demás variables constantes.
• Coeficiente de habitaciones: 22000
  ➜ Añadir una habitación aumenta el precio promedio en 22,000 €, suponiendo mismo tamaño y ubicación.
• Coeficiente de ubicacion: -9000
  ➜ En este ejemplo, los valores de ubicación están codificados de forma que un número menor representa una zona mejor.
  Por eso el coeficiente es negativo: al bajar el número (mejor ubicación), aumenta el precio.
• Intercepto: 11,000
  ➜ Es el valor base del modelo cuando todas las variables valen 0 (solo tiene sentido teórico, no real).

El análisis multivariado permite estimar el efecto combinado de múltiples variables y mejorar la precisión de las predicciones.

Limitaciones de la Correlación

La correlación solo mide relaciones lineales. Puede ser engañosa cuando la relación es curvilínea o no lineal. Por ejemplo, los siguientes diagramas de dispersión muestran pares de variables con correlaciones cercanas a cero:

• En uno de ellos, la relación es perfectamente horizontal (pendiente = 0).
• En los demás, las relaciones son no lineales (curvas, cuadráticas, circulares, etc.).

En estos casos, la correlación no detecta la relación real, porque una línea recta no puede describir la forma del patrón.

Explorando la covarianza

Más allá de visualizar relaciones, también podemos utilizar estadísticas resumidas para cuantificar la fuerza de ciertas asociaciones. La covarianza es una estadística resumida que describe la fuerza de una relación lineal.

La covarianza puede variar desde infinito negativo hasta infinito positivo. Una covarianza positiva indica que un valor mayor de una variable está asociado con un valor mayor de la otra. Una covarianza negativa indica que un valor mayor de una variable está asociado con un valor menor de la otra. Una covarianza de 0 indica que no hay relación lineal. Aquí hay unos ejemplos:

Para calcular la covarianza, podemos usar la función cov() de NumPy, que produce una matriz de covarianza para dos o más variables . Una matriz de covarianza para dos variables se parece a esto:

En Python, podemos calcular esta matriz de la siguiente manera:

import pandas as pd
import numpy as np
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

# Datos simulados de viviendas
data = pd.DataFrame({
    'tamaño_m2': [45, 55, 65, 75, 85, 95, 105, 115],
    'habitaciones': [1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4],
    'ubicacion': [5, 4, 3, 2, 4, 3, 2, 1],  # zonas más caras no siempre coinciden con mayor tamaño
    'precio': [160000, 170000, 185000, 190000, 210000, 220000, 240000, 230000]
})

# --- 1️⃣ Cálculo manual y con NumPy ---
cov_matrix = np.cov(data['tamaño_m2'], data['precio'])
cov_tamaño_precio = cov_matrix[0, 1]

print("Matriz de Covarianza:\n", cov_matrix)
print("\nCovarianza entre tamaño_m2 y precio:", round(cov_tamaño_precio, 2))

import pandas as pd
import numpy as np
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

# Datos simulados de viviendas
data = pd.DataFrame({
    'tamaño_m2': [45, 55, 65, 75, 85, 95, 105, 115],
    'habitaciones': [1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4],
    'ubicacion': [5, 4, 3, 2, 4, 3, 2, 1],  # zonas más caras no siempre coinciden con mayor tamaño
    'precio': [160000, 170000, 185000, 190000, 210000, 220000, 240000, 230000]
})

# --- 1️⃣ Cálculo manual y con NumPy ---
cov_matrix = np.cov(data['tamaño_m2'], data['precio'])
cov_tamaño_precio = cov_matrix[0, 1]

print("Matriz de Covarianza:\n", cov_matrix)
print("\nCovarianza entre tamaño_m2 y precio:", round(cov_tamaño_precio, 2))

Salida:

Matriz de Covarianza:
[[ 616.07142857 5687.5       ]
 [5687.5       53839285.71428572]]

Covarianza entre tamaño_m2 y precio: 5687.5

Matriz de Covarianza:
[[ 616.07142857 5687.5       ]
 [5687.5       53839285.71428572]]

Covarianza entre tamaño_m2 y precio: 5687.5

Interpretación

• El valor 5 687.5 es positivo, lo que significa que cuando el tamaño aumenta, el precio también tiende a aumentar.
• Si fuera negativo, indicaría que los valores mayores de una variable se asocian con valores menores de la otra.
• Si fuera cercano a 0, implicaría que no hay una relación lineal clara entre tamaño y precio.

La magnitud (qué tan grande es el número) depende de las unidades de medida. Por eso, la covarianza no es directamente comparable entre conjuntos de datos distintos. Para una medida normalizada e interpretable, se usa la correlación de Pearson, que va de -1 a +1.

¿Qué cubre el análisis de datos exploratorios avanzados?

• Calcular la varianza de una variable.
• Evaluar la distribución de los datos.
• Informar sobre cuartiles, cuantiles y rango intercuartil.
• Explorar datos categóricos.
• Transformar los datos para satisfacer tus necesidades.

Varianza

Calcular la media, mediana y moda es un buen comienzo para comprender la forma general de un conjunto de datos. Pero esas tres estadísticas solo cuentan parte de la historia.

Considera los dos conjuntos siguientes:

dataset_one = [-4, -2, 0, 2, 4]
dataset_two = [-400, -200, 0, 200, 400]

dataset_one = [-4, -2, 0, 2, 4]
dataset_two = [-400, -200, 0, 200, 400]

Ambos tienen la misma media y mediana (0), pero claramente no representan la misma dispersión. Ahí entra en juego la varianza, que describe qué tan dispersos están los datos.

Distancia desde la media

Intuitivamente, queremos que la varianza sea mayor cuando los datos están más dispersos y menor cuando están más concentrados. Una primera idea sería usar el rango, pero solo considera los extremos.

En cambio, podemos medir cuánto se aleja cada punto de la media:

$$\text{diferencia} = X – \mu$$

Donde \( X \) es un punto de datos y \( \mu \) la media.

Promedio de las distancias

Podemos combinar las diferencias en una sola medida tomando su promedio. Sin embargo, si los valores por encima y por debajo de la media se cancelan (por ejemplo, [-5, 5]), el promedio sería 0, aunque los datos estén claramente dispersos.

Cuadrar las diferencias

Para evitar la cancelación, elevamos al cuadrado las diferencias:

$$\text{diferencia} = (X – \mu)^2$$

De este modo, los valores negativos desaparecen y las grandes desviaciones pesan más.

La varianza \( \sigma^2 \) se define entonces como:

$$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \mu)^2}{n}$$

Varianza en Python

import numpy as np

dataset = [3, 5, -2, 49, 10]
variance = np.var(dataset)
print(f"Varianza: {variance:.2f}")

import numpy as np

dataset = [3, 5, -2, 49, 10]
variance = np.var(dataset)
print(f"Varianza: {variance:.2f}")

Salida:

Varianza: 328.56

Varianza: 328.56

La varianza no se interpreta directamente, sin tener en cuenta la escala de los datos. Esta crece con la magnitud de los valores porque está en unidades al cuadrado. Por eso, comparar una varianza de 328.56 en dos contextos distintos (media = 13 o media = 1200) no tiene sentido absoluto. En el primer caso, las desviaciones son grandes respecto a la media y en el segundo, son minúsculas.

Entonces:

La varianza no es una medida relativa, y solo tiene valor comparativo si las variables están en la misma escala.

Desviación estándar

La varianza tiene un inconveniente: sus unidades están al cuadrado como ya vimos anteriormente. Por eso usamos la desviación estándar, que devuelve las unidades originales:

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$

Desviación estándar con NumPy

import numpy as np

dataset = [4, 8, 15, 16, 23, 42]
standard_deviation = np.std(dataset)
print(f"Desviación estándar: {standard_deviation:.2f}")

import numpy as np

dataset = [4, 8, 15, 16, 23, 42]
standard_deviation = np.std(dataset)
print(f"Desviación estándar: {standard_deviation:.2f}")

Salida:

Desviación estándar: 12.32

Desviación estándar: 12.32

Interpretación práctica

La desviación estándar permite interpretar cuán inusual es un valor.  Al encontrar el número de desviaciones estándar que un punto de datos está alejado de la media, podemos comenzar a investigar qué tan inusual es realmente ese punto de datos. 

• ~68% de los datos están dentro de 1σ de la media.
• ~95% dentro de 2σ.
• ~99.7% dentro de 3σ.

Si un punto se encuentra a más de tres desviaciones estándar, es un valor atípico.

Describiendo un histograma

Media y Mediana

Ambas indican el centro de los datos. En distribuciones simétricas, suelen coincidir.

Dispersión (Spread)

Se describe con los valores mínimo y máximo, tomados con la media y la mediana, comienzan a indicar la forma del conjunto de datos subyacente.

Sesgo (Skewness)

• Simétrico: la media ≈ mediana.
• Sesgo a la derecha: cola larga hacia la derecha, media > mediana.
• Sesgo a la izquierda: cola larga hacia la izquierda, media < mediana.

Modalidad

La modalidad describe el número de picos en un conjunto de datos. 

• Unimodal: un solo pico.
• Bimodal o multimodal: varios picos.
• Uniforme: sin agrupaciones claras.

Valores atípicos (Outliers)

Son puntos lejanos al resto del conjunto de datos. Conviene investigarlos: pueden ser errores o indicios interesantes.

Cuartiles

Dividen los datos en cuatro partes iguales:

• Q1: 25% inferior
• Q2: 50% (la mediana)
• Q3: 75% superior

Ejemplo:

import numpy as np

dataset = [-108, 4, 8, 15, 16, 23, 42]

q1 = np.quantile(dataset, 0.25)
q2 = np.quantile(dataset, 0.50)
q3 = np.quantile(dataset, 0.75)

print(q1, q2, q3)

import numpy as np

dataset = [-108, 4, 8, 15, 16, 23, 42]

q1 = np.quantile(dataset, 0.25)
q2 = np.quantile(dataset, 0.50)
q3 = np.quantile(dataset, 0.75)

print(q1, q2, q3)

Salida:

4.0 15.0 23.0

4.0 15.0 23.0

Cuantiles

Los cuantiles dividen los datos en grupos de igual tamaño.
Por ejemplo:

• Deciles: 10 grupos
• Percentiles: 100 grupos

import numpy as np

dataset = [5, 10, -20, 42, -9, 10]
quantiles = np.quantile(dataset, [0.2, 0.4, 0.6, 0.8])
print(quantiles)

import numpy as np

dataset = [5, 10, -20, 42, -9, 10]
quantiles = np.quantile(dataset, [0.2, 0.4, 0.6, 0.8])
print(quantiles)

Salida:

[-11.8  -3.6   9.2  23.6]

[-11.8  -3.6   9.2  23.6]

Rango intercuartil (IQR)

El rango intercuartil mide la amplitud del 50% central de los datos, entre el tercer cuartil (Q3) y el primer cuartil (Q1).

$$IQR = Q3 – Q1$$

Es más robusto ante valores atípicos que el rango total.

from scipy.stats import iqr

dataset = [4, 10, 38, 85, 193]
interquartile_range = iqr(dataset)
print(f"IQR: {interquartile_range}")

from scipy.stats import iqr

dataset = [4, 10, 38, 85, 193]
interquartile_range = iqr(dataset)
print(f"IQR: {interquartile_range}")

IQR: 75.0

IQR: 75.0

Diagramas de caja (Boxplots)

Los diagramas de caja son una de las formas más comunes de visualizar un conjunto de datos. Al igual que los histogramas , los diagramas de caja dan una idea de la tendencia central y la dispersión de los datos.

Los boxplots resumen visualmente la distribución: